Es común, que en ocasiones  encontremos la integración de una fracción de polinomios  en el que  el grado del denominador es mayor que el del numerador, lo cual no es un resultado que pueda obtenerse de manera inmediata. En el caso contrario, basta con hacer la división entre polinomios  que no necesariamente es fácil pero que conduce a generar una función racional entera. La integración de este tipo de expresiones diferencial a menudo requiere obtener fracciones racionales mas simples para su integración. El teorema fundamental del álgebra  es esencial en el desarrollo de métodos que tiendan a solucionar este tipo de problemas.

Una expresión del teorema fundamental del álgebra es la siguiente:

Teorema fundamental del álgebra. Cualquier polinomio con coeficientes reales de grado n tiene n raíces, las cuales son reales o complejas. En el caso de existir raíces reales siempre existen en pares, es decir, la raíz y su complejo conjugado.

   

Sea construido un teorema que recoge los elementos del teorema fundamental del álgebra, este agrupa en las aplicaciones a la solución de integrales:

Teorema:

La integral de toda función racional en la que el denominador se puede descomponer en factores reales  de primero y segundo grado puede solucionarse una vez que la función racional se expresa en sumas y restas de funciones elementales.

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Fracciones parciales

1er caso.  Todos los factores del denominador son de primer grado.Si no se repiten los factores la descomposición en fracciones parciales es de la forma:

Resuelve la siguiente integral 

de acuerdo a la recomendación planteada en este método analicemos la factorización del denominador

por lo cual podemos realizar la siguiente descomposición de fracciones:

realizando las operaciones

comparando las fracciones podemos deducir de los numeradores que

sustituyendo  de Ec. 3 tenemos A=-1 en Ec.1 tenemos  que B+C=1 , pero de Ec.2 tenemos

B=C por lo tanto 2B=1 en consecuencia:

  Ahora estamos en condiciones de resolver la integral inicial  Ec.A  obteniendo integrales a las cuales les podemos aplicar las fórmulas de manera inmediata

Aplicando propiedades de los logaritmos: