Integración por partes

INTEGRACIÓN POR PARTES

Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas.

1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x),

v = g(x).

2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x) · g(x), permite escribir,

d(f(x) · g(x)) = g(x) · f'(x)dx + f(x) · g'(x)dx

3. Integrando los dos miembros,

Ésta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u = f(x), du = f'(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g'(x)dx. Llevando estos resultados a la igualdad anterior,

Cómo se resuelve una integral por partes

Este método consiste en identificar u con una parte de la integral y dv con el resto, con la pretensión de que al aplicar la fórmula obtenida, la integral del segundo miembro sea más sencilla de obtener que la primera. No hay, y éste es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de problemas es el mejor camino para adquirir la técnica necesaria.

No obstante, se suelen identificar con u las funciones de la forma xm si m es positivo; si m es negativo, es preferible identificar con dv a xmdx. También suelen identificarse con u las funciones ln x, arc senx, arc tg x y con dv, exdx, sen x dx, cos x dx, etc.

Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que al hacer la identificación de dv, ésta debe contener siempre a dx.

Ejercicio: integración por partes

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Resolución:

Éste es uno de los casos más sencillos; la integral consta de una sola función,

ln x.

Resolución:

Se puede resolver efectuando cambios distintos:

a) ð La identificación, en este caso, puede ser u = sen x y dv = sen x dx

ð De u = sen x se deduce, diferenciando, que du = cos x dx.

Puesto que cos2x = 1 - sen2x,

Al volver a obtener en el segundo miembro la integral de partida puede llegarse a la conclusión de no haber avanzado en el propósito de calcular la integral. No es 

b) ð Esta integral admite también la identificación u = sen2x, dv = dx

ð Diferenciando u, du = 2 sen x cos x dx = sen 2x dx

ð Aplicando la fórmula de integración por partes,

ð Si u = x, du = dx.

ð Volviendo a la igualdad (1)

No hay que dejarse engañar por la apariencia de que los resultados que se han obtenido son distintos; en realidad son iguales. Si en la segunda expresión se sustituye cos 2x por su valor, cos2x - sen2x, y sen 2x por el suyo, 2 sen x cos x, se obtiene:

Resolución:

ð Aplicando la fórmula,

Resolución:

ð Llamando u = x, du = dx;

Resolución:

ð Se hace la identificación u = x2; diferenciando, du = 2x dx

ð Aplicando la fórmula,

ð Así,

ð Llevando este resultado a (1),