calculo integral: Integral de Riemann

La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita

$a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!$ y denotamos la partición como $\mathit{P}=\{x_i|i=0,1,...,n\}\,\!$

Esto divide al intervalo [a,b] en n subintervalos [x_i−1, x_i], cada uno de los cuales es "etiquetado" con un punto especificado t_i de; [x_i−1, x_i]. Sea Δ_i = x_i−x_i−1 la anchura del subintervalo i; el paso de esta partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande obtenido por la partición, max_i=1…n Δ_i. Un sumatorio de Riemann de una funciónf respecto de esta partición etiquetada se define como

$\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ;$

Así cada término del sumatorio es el área del rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una función f sobre el intervalo [a,b] es igual a S si:

Para todo ε > 0 existex δ > 0 tal que, para cualquier partición etiquetada [a,b] con paso más pequeño que δ, se tiene

$\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \varepsilon$ , donde $S= \int_{a}^{b}f = lim_{||{\Delta_i}|| \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i$

Cuando las etiquetas escogidas dan el máximo (o mínimo) valor de cada intervalo, el sumatorio de Riemann pasa a ser unsumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexión que hay entre la integral de Riemann y la integral de Darboux.

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